Question

（本題滿分12分）

已知動圓過點，且與圓相內切.

（1）求動圓的圓心的軌跡方程；

（2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.

∵，∴點在圓內.        

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                              

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為

,  則.∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為. …………………………………4分

 (2)由 消去化簡整理得：

設，，則……………………………………6分

△.  ①

由 消去化簡整理得：.

設，則,

△.  ② ……………………………………8分

∵，∴，即，

∴.∴或.解得或……… 10分                                                                  

當時,由①、②得  ，

∵Z,，∴的值為 ，，;

當，由①、②得  ，

∵Z,，∴.

∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

【解析】略