Question

已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，右準線與一條漸近線的交點坐標為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F的直線l（不與x軸重合）與雙曲線C交于M，N兩點，且直線AM、AN分別交雙曲線C的右準線于P、Q兩點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）雙曲線C的右準線為，漸近線為．再由右準線與一條漸近線的交點坐標為，解得a²=4，b²=5，c²=9．由此能求出雙曲線C的方程． 
（Ⅱ）由點F，A的坐標分別為（3，0），（-2，0），右準線為．知當直線l斜率不存在時，點M，N的坐標分別為，則直線AM，AN方程分別為，．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），由得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．由此入手也能推導出=．由此能夠證明為定值．
解答：（Ⅰ）解：雙曲線C的右準線為，漸近線為．
因為右準線與一條漸近線的交點坐標為，
所以，
解得a²=4，b²=5，c²=9．
于是，雙曲線C的方程為．            …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知點F，A的坐標分別為（3，0），（-2，0），右準線為．
當直線l斜率不存在時，點M，N的坐標分別為，
則直線AM，AN方程分別為，
令，得P，Q的坐標分別為，
此時．
當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），
由，
得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．
因為直線l與雙曲線C交于M，N兩點，
所以4k²-5≠0，△=24²k⁴-4（4k²-5）（36k²+20）=400（k²+1）＞0，
解得．
設M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
則直線AM，AN方程分別為，
令，得P，Q的坐標分別為，
所以
=
=
=．
所以，為定值．                 …（13分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，難度大，是高考的重點，易出錯．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．