Question

已知數列 a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，其中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數列；a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差為 d的等差數列；a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差為 d²的等差數列（d≠0）．
（1）若 a₂₀=40，求 d；
（2）試寫出 a₃₀關于 d的關系式；
（3）續寫已知數列，使得 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差為 d³的等差數列，…，依此類推，把已知數列推廣為無窮數列．提出同（2）類似的問題，并進行研究，你能得到什么樣的結論？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中a₁，a₂，a₃，…，a₁₀是首項為1，公差為1的等差數列，a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀是公差為 d的等差數列；可得a₂₀的表達式（含d），進而根據a₂₀=40，可求出 d值；
（2）根據a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀是公差為 d²的等差數列，根據等差數列的性質可得a₃₀關于 d的關系式；
（3）由 a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀是公差為 d³的等差數列，可得a₄₀的表達式，進而根據（1）和（2）的結論，可以歸納推斷出．
解答：解：（1）a₁，a₂，a₃，…，a₁₀首項為1，公差為1
∴a₁₀=1+9×1=10a₁₀，a₁₁，a₁₂，…，a₂₀首項為a₁₀，公差為d
∴a₂₀=a₁₀+10d=10（1+d）
∵a₂₀=40∴10（1+d）=40∴d=3
（2）a₂₀，a₂₁，a₂₂，…，a₃₀首項為a₂₀，公差為d²
∴a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）
（3）a₃₀，a₃₁，a₃₂，…，a₄₀首項為a₃₀，公差為d³
∴a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³）
依此類推可得：a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1），n∈N^*
∵d≠0∴當 d=1時，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）=10n
當 d≠1時，a_10n=10（1+d+d²+…+d^n-1）==
綜上得結論：
點評：本題考查的知識點是進而簡單的合情推理，等差數列的性質，其中分析出數列中各項值的變化規律是解答本題的關鍵．