Question

【題目】已知等差數列{an}和等比數列{bn}，其中{an}的公差不為0．設Sn是數列{an}的前n項和．若a1 ， a2 ， a5是數列{bn}的前3項，且S4=16．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數列{ }為等差數列，求實數t；
（3）構造數列a1 ， b1 ， a2 ， b1 ， b2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 ， …，ak ， b1 ， b2 ， …，bk ， …，若該數列前n項和Tn=1821，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設{an}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是數列{bn}的前3項，且S4=16．

∴ ，即 ，4a1+ =16，

解得a1=1，d=2，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

∴b1=1，b2=3，公比q=3．

∴bn=3n﹣1

（2）解：Sn= =n2．∴ = ．

∵數列{ }為等差數列，

∴ = + ，t2﹣2t=0．

解得t=2或0，經過驗證滿足題意

（3）解：由（1）可得：Sn=n2，數列{bn}的前n項和An= = ．數列{An}的前n項和Un= ﹣ n= ﹣ n．

數列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，

∴該數列前k+ = 項和=k2+ ﹣ （k﹣1），

∵37=2187，38=6561．

∴取k=8，可得前 =36項的和為： =1700，

令Tn=1821=1700+ ，解得m=5．

∴n=36+5=41

【解析】（1）設{an}的公差d≠0．由a1 ， a2 ， a5是數列{bn}的前3項，且S4=16．可得 ，即 ，4a1+ =16，解得a1 ， d，即可得出．（2）Sn= =n2 ． 可得 = ．根據數列{ }為等差數列，可得 = + ，t2﹣2t=0． 解得t．（3）由（1）可得：Sn=n2 ， 數列{bn}的前n項和An= = ．數列{An}的前n項和Un= ﹣ n= ﹣ n．數列a1 ， b1 ， a2 ， b1 ， b2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 ， …，ak ， b1 ， b2 ， …，bk ， …，可得：該數列前k+ = 項和=k2+ ﹣ （k﹣1），根據37=2187，38=6561．進而得出．