Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)，a為實(shí)常數(shù)。

（1）求b的值；

（2）當(dāng)a=1時，是否存在（）使得函數(shù)在區(qū)間 上的函數(shù)值組成的集合也是，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由；

（3）若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間(m<n)，使得在區(qū)間 上的函數(shù)值組成的集合也是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由已知可得，，且函數(shù)的定義域?yàn)?i>D=．

又是偶函數(shù)，故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱．

于是，b=0(．

又對任意 因此所求實(shí)數(shù)b=0．   ……………………3分

（2）由(1)可知， ． 由的圖像，可知：

 

　又，∴在區(qū)間上是增函數(shù)。∴有 即方程， ∵，∴不存在正實(shí)數(shù)m,n，滿足題意。………7分

(3)　由(1)可知， ．

的圖像，知

因在區(qū)間上的函數(shù)值組成的集合也是，故必有．

①當(dāng)時，有，

即方程，有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，因此，

解得．                                                             ………10分

②當(dāng)時，有，

化簡得，

綜上，                                            ………12分