Question

14、已知m，n∈Z，關于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的實數解，且函數f（x）=log₂（8-|x|）的定義域是[m，n]，值域[0，3]，那么m+n=

4

．

Answer 1

分析：由已知中關于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的實數解，結合絕對值的性質及對數的運算性質，我們易解出m的值，然后再根據函數f（x）=log₂（8-|x|）的定義域是[m，n]，值域[0，3]，可以求出滿足條件的n的值，進而得到m+n的值．

解答：解：若關于x的方程2^|2-x|+m+2=0有唯一的實數解
則函數y=2^|2-x|+2與y=-m，有且只有一個交點，
∵y=2^|2-x|+2≥3
∴m=-3
又由f（x）=log₂（8-|x|）的定義域是[m，n]，值域[0，3]，
則n=7
則m+n=4
故答案為：4

點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性與特殊點，對數函數的值域與最值，其中根據對數函數，指數函數的性質及絕對值的性質求出滿足條件的m，n的值，是解答本題的關鍵．