Question

如圖，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

   （Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；

   （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）在直線CC₁上是否存在點P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）見解析

       （Ⅱ）

       （Ⅲ）見解析

解析:

連接BD交AC于O，則BD⊥AC，

連接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁·Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A₁（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

則

∴BD⊥AA₁……………………4分

  （Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

設⊥平面AA₁D

則

得到……………………6分

所以二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假設在直線CC₁上存在點P，使BP//平面DA₁C₁

設

則

得……………………9分

設

則設

得到……………………10分

又因為平面DA₁C₁

則·

即點P在C₁C的延長線上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于點O，由于平面AA₁C_??1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性質定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面為菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁·cos60°=1

所以O是AC的中點，由于底面ABCD為菱形，所以

O也是BD中點

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

過O作OE⊥AA₁于E點，連接OE，則AA₁⊥DE

則∠DEO為二面角D—AA₁—C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）存在這樣的點P

連接B₁C，因為A₁B₁AB_DC

∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形。

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延長線上取點P，使C₁C=CP，連接BP……………………10分

因B_??1??BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP

∴四邊形BB₁CP為平行四邊形

則BP//B₁C

∴BP//A₁D

∴BP//平面DA₁C₁