Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}的公比為q，且0＜q＜．
（1）在數列{a_n}中是否存在三項，使其成等差數列？說明理由；
（2）若a₁=1，且對任意正整數k，a_k-（a_K+1+a_k+2）仍是該數列中的某一項．
（�。┣蠊�比q；
（ⅱ）若b_n=-log（+1），S_n=b₁+b₂+…+b_n，T_n=S₁+S₂+…+S_n，試用S₂₀₁₁ 表示T₂₀₁₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知數列{a_n}是遞減正項數列，因此設a_k、a_m、a_n（k＜m＜n）成等差數列，根據等差中項的定義列式并化簡可得2q^m-k=1+q^n-k，結合公比0＜q＜可得此方程沒有實數根，故數列{a_n}中不存在三項成等差數列．
（2））（i）化簡得a_k-（a_k+1+a_k+2）=a₁q^k-1[-（q-）²]，結合[-（q+）²]∈（，1）討論可得只有a_k-（a_k+1+a_k+2）=a_k+1，得到方程q²+2q-1=0解之得q=（舍負）；
（ii）由等比數列的通項公式，結合對數運算性質得b_n=，從而得到S_n=1+++…+，進而得到T_n=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+），對此式重新組合整理得T_n=（n+1）S_n-n，由此將n=2011代入即可得到用S₂₀₁₁ 表示T₂₀₁₁的式子．
解答：解：（1）根據題意，a_n=a₁q^n-1，其中0＜q＜．
∵a_n＞0，∴a_n+1＜a_n對任意n∈N₊恒成立，
設{a_n}中存在三項a_k、a_m、a_n（k＜m＜n），滿足成等差數列
則2a_m=a_k+a_n，即2q^m-k=1+q^n-k，
由2q^m-k＜1且1+q^n-k＞1，可得上式不能成立．因此數列{a_n}中不存在三項，使其成等差數列．
（2）（i）a_k-（a_k+1+a_k+2）=a₁q^k-1（1-q-q²）=a₁q^k-1[-（q-）²]
∵[-（q+）²]∈（，1），
∴a_k-（a_K+1+a_k+2）＜a_k＜a_k-1＜…＜a₂＜a₁，且a_k-（a_K+1+a_k+2）＞a_k+2＞a_k+3＞…
因此，只有a_k-（a_k+1+a_k+2）=a_k+1，化簡可得q²+2q-1=0
解之得q=（舍負）；
（ii）∵a₁=1，q=，
∴a_n=（）^n-1，可得b_n=-log（+1）==，
因此，S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+++…+，
T_n=S₁+S₂+…+S_n=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）
=n+（n-1）+（n-2）+…+[n-（n-1）]=n（1+++…+）-（++…+）
=nS_n-[（1-）+（1-）+…+（1-）]=nS_n-[（n-1）-（++…+）]
=nS_n-[n-（1+++…+）]=nS_n-n+S_n=（n+1）S_n-n
由此可得：T₂₀₁₁=2012S₂₀₁₁-2011．
點評：本題給出公比小于的正項等比數列，討論它的某三項成等差數列，求數列的通項公式并依此解決數列{b_n}的前n項和的問題．著重考查了等差數列、等比數列的通項公式與求和公式，以及數列與函數的綜合等知識，屬于中檔題．