Question

設x、y∈R，，為直角坐標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若向量＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8．

(1)求點M(x，y)的軌跡C的方程；

(2)過點(0，3)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設＝＋，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)且||＋||＝8 　　∴點M(x，y)到兩個定點F1(0，－2)，F2(0，2)的距離之和為8． 　　∴軌跡C為以F1，F2為焦點的橢圓，方程為＋＝1． 　　(2)∵l過y軸上的點(0，3)． 　　若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點． 　　∴＝＋＝，∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾． 　　∴直線l的斜率存在，設l的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)B(x2，y2) 　　由消去y得：(4＋3k2)x2＋18kx－21＝0 　　此時Δ＝(18k)2－4(4＋3k2)(－21)＞0恒成立． 　　且x1＋x2＝－，x1x2＝－． 　　∵＝＋∴四邊形OAPB是平行四邊形 　　若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則⊥，即·＝0 　　∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)∴·＝x1x2＋y1y2＝0 　　即(1＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝0 　　即(1＋k2)·(－)＋3k·(－)＋9＝0 　　即k2＝，得k＝± 　　∴存在直線l：y＝±＋3，使得四邊形OAPB為矩形．