Question

【題目】已知函數,其中．

（Ⅰ）若在區間上為增函數，求的取值范圍；

（Ⅱ）當時，證明：；

（Ⅲ）當時，試判斷方程是否有實數解，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）沒有實數解．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為在區間上為增函數在上恒成立，在上恒成立；（Ⅱ）當時， 再利用導數工具得成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ． 設利用導數工具求得， 即方程沒有實數解．

試題解析：函數定義域，．

（Ⅰ）因為在區間上為增函數，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，

則 ………………………………………………………4分

（Ⅱ）當時，,．

令，得．

令,得，所以函數在單調遞增．

令,得，所以函數在單調遞減．

所以，．

所以成立． …………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ， 所以．

設所以．

令，得．

令,得，所以函數在單調遞增，

令,得，所以函數在單調遞減；

所以，， 即．

所以 ，即．

所以，方程沒有實數解． ……………………………………………12分