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對任意,給定區間,設函數表示實數與的給定區間內整數之差的絕對值.

YCY 

 
   （1）當的解析式；當Z）時，寫出用絕對值符號表示的的解析式，并說明理由；

   （2）判斷函數R）的奇偶性,并證明你的結論；

   （3）求方程的實根.(要求說明理由)

（1）

      （2）證明見解析。

      （3）若有且僅有一個實根，實根為1.


解析:

（Ⅰ）當時，由定義知：與0距離最近， 

當時，由定義知：最近的一個整數，故

（Ⅱ）對任何R，函數都存在，且存在Z，

滿足Z）

即Z）.

由（Ⅰ）的結論，

即是偶函數.

（Ⅲ）（理科）解：

（1）當沒有大于1的實根；

（2）容易驗證為方程的實根；

（3）當

設

則

所以當為減函數，

所以方程沒有的實根；

（4）當

設為減函數，，

所以方程沒有的實根.

綜上可知，若有且僅有一個實根，實根為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）當λ=-1時，求函數g（x）的最大值；
（2）求函數h（x）的單調區間；
（3）設函數φ(x)=
f(x)，x≤0
g(x)，x＞0.
若對任意給定的非零實數x，存在非零實數t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．
（Ⅰ）設函數p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在區間（0，3）上不單調，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設函數q(x)=
g(x)，x≥0
f(x)，x＜0.
是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

20090423
 
已知函數，，

   （I）設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；

   （II）設函數  是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年天津市濱海新區高考數學模擬試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．
（I）設函數p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在區間（0，3）上不單調，求k的取值范圍；
（II）設函數是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

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