Question

設偶函數f（x）對任意x∈R，都有f(x+3)=-

1

f(x)

，且當x∈[-3，-2]時，f（x）=2x，則f（2009.5）=

1

5

．

Answer 1

分析：先通過f（x+3）=-

1

f(x)

可推斷函數f（x）是以6為周期的函數．進而可求得f（2009.5）=f（5.5）；根據f（x+3）=-

1

f(x)

可求得f（5.5）=

1

f(2.5)

；再結合其為偶函數得到f（2.5）=f（-2.5），最后結合x∈[-3，-2]時，f（x）=2x即可求得結論..

解答：解：因為f（x+3）=-

1

f(x)

⇒f（x+6）=-

1

f(x+3)

=f（x）．
故函數周期T=6．
∴f（2009.5）=f（334×6+5.5）=f（5.5）
結合其為偶函數以及x∈[-3，-2]時，f（x）=2x可得：f（5.5）=-

1

f(2.5)

=-

1

f(-2.5)

=-

1

2×(-2.5)

=

1

5

．
故答案為：

1

5

．

點評：本題主要考查了函數的周期性，要特別利用好題中f（x+3）=-

1

f(x)

的關系式．