Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，AC₁⊥平面A₁BD，D為AC的中點．（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

Answer 1

【答案】分析：（I）由中位線定理得到B₁C∥MD，再由線面平行的判定理理得到B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）先證明A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁求再由線面垂直的判定理得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，連接AB₁與A₁B相交于M，則M為A₁B的中點，
連接MD，D又為AC的中點，
∴B₁C∥MD．
又B₁C不包含于平面A₁BD，MD?平面A₁BD，B₁C∥平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B₁B∴四邊形ABB₁A₁為正方形
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁（9分）
點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理以及三角形中位線定理．