Question

在等腰梯形ABCD中，AB=3，AD=BC=2，CD=1，E為AB上的點且AE=1，將△AED沿DE折起到A₁ED的位置，使得二面角A₁-CD-E的平面角為30°．
（1）求證：DE⊥A₁B；
（2）求二面角B-A₁C-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件與圖，可先證DE⊥面A₁EB再有線面垂直證DE⊥A₁B；
（2）如圖建立空間直角坐標系，設E₁A與X軸所的角為θ，給出各點的坐標，設出兩個半平面的法向量，由公式求出兩個半平面的法向量，再由公式求出二面角B-A₁C-D的余弦值

解答：解：（1）證明：如左圖，因為在等腰梯形ABCD中，AB=3，CD=1，AE=1，所以DE⊥AB，∴如右圖中，DE⊥A₁E，DE⊥BE，∴DE⊥面A₁EB，故DE⊥A₁B，
（2）如圖建立空間直角坐標系，設E₁A與X軸所的角為θ，則A₁（cosθ，-sinθ，0），B（0，2，0），C（0，1，

3

）D（0，0，

3

），設平面A₁CD的法向量為

n1

=（x，y，z），平面BCDE的法向量為

n2

=（1，0，0），則

A1C • n1 =-xcosθ+y(1+sinθ)=0 CD • n1 =y=0

令z=1，則

n1

=（

3

cosθ

，0，1），∵cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2

，∴

| 3 cosθ |

1+ 3 cos 2θ

=

3

2

，解得cosθ=1，即θ=0
此時，點A1在X軸上，A1（1，0，0），

A1C

=（-1，2，0），

n1

=（

3

，0，1），設平面A1BC的法向量為

n3

=（x，y，z），則

A1B • n3 =-x+2y=0 A1C • n3 =-x+y+ 3 z=0

，令y=1，得

n3

=（2，1，

3

3

），故cos＜

n1

，

n3

＞=

n1 • n3

| n1 || n3 |

=

7

8

結合圖形，可得二面角B-A1C-D為鈍角，故二面角的余弦值為-

7

8

點評：本題考查二面角的平面角的求法，做題的關鍵是熟練掌握向量法求二面角的公式與步驟，利用向量法求二面角是向量的一個重要運用，向量的引入，為立體幾何中二面角求解帶來了極大的方便，題后應注意總結此法求二面角的規律．