Question

（2012•東城區模擬）已知函數f(x)=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x，x∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及其單調遞減區間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，又a=2，f(A)=1+

3

，b c=

5

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角平方關二倍角公式及輔助角公式對已知函數進行化簡，然后結合周期公式即可求解，結合正弦函數的單調區間可求該函數的單調遞減區間
（Ⅱ）由f(A)=1+

3

可求A，然后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可求b+c，進而可求周長

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x
=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+

3

(1+cos2x)（2分）
=1+

3

+(sin2x+

3

cos2x)=1+

3

+2sin(2x+

π

3

)（4分）
所以函數f（x）的周期為π．（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
故函數f（x）的單調減區間是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=1+

3

=1+

3

+2sin(2A+

π

3

)，
則sin(2A+

π

3

)=0，
因為0＜A＜

π

2

，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
所以2A+

π

3

=π．則A=

π

3

．（10分）
又 a=2，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=（b+c）²-2bc-2bccosA，
因為bc=

5

3

，所以b+c=3，則△ABC的周長等于5．（13分）

點評：本題主要考查同角平方關系、二倍角公式及輔助角公式在三角函數化簡中的應用，正弦函數的性質及余弦定理等知識的綜合應用，試題具有一定的綜合性