Question

【題目】已知， ， ，斜率為的直線過點，且和以為圓相切.

（1）求圓的方程；

（2）在圓上是否存在點，使得，若存在，求出所有的點的坐標；若不存在說明理由；

（3）若不過的直線與圓交于， 兩點，且滿足， ， 的斜率依次為等比數列，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）或；（3）

【解析】試題分析：根據直線與圓C相切，則點C到直線的距離為圓的半徑，寫出圓的方程；設點P的坐標，根據已知條件表示，與圓的方程聯立方程組，解方程組求出點P的坐標；存在性問題是高考高頻考點，首先假設直線存在，分直線m的斜率不存在和存在兩種情況研究，若存在不妨設為k，根據要求求出斜率k的值，得出這樣的直線存在，給出斜率k.

試題解析：

（1）： ，

∵直線和圓相切∴設圓的半徑為，則，

∴圓： ；

（2）設，則由，得，

又∵點在圓上，∴，

相減得： ，

代入，得，

解得或，

∴點的坐標為或；

（3）若直線的斜率不存在，則的斜率也不存在，不合題意：

設直線： ， ， ，

直線與圓聯立，得，

由，得，

即。

整理得： ，

∵不過點，∴，∴上式化為.

將代入得： ，

即，

∵，∴，

∴直線的斜率為.