Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，△AOB和△COD為兩等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0）（a＞0）．設△AOB和△COD的外接圓圓心分別為M，N．
（1）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；
（2）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程；
（3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為？若存在，求此時⊙N的標準方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△AOB為等腰直角三角形，A點坐標為（-2，0），可得圓心M的坐標為（-1，1）及圓M方程，利用⊙M與直線CD相切，圓心M到直線CD的距離等于半徑，即可確定確定直線CD的方程；
（2）由已知得，直線AB的方程為x-y+2=0，圓心N的坐標為（，），求出圓心N到直線AB的距離，利用直線AB截⊙N所得的弦長為4，即可確定圓心坐標，從而確定⊙N的標準方程；
（3）存在．由（2）知，圓心N到直線AB的距離恒為，且AB⊥CD始終成立，當且僅當圓N的半徑=2．
解答：解：（1）∵△AOB為等腰直角三角形，A點坐標為（-2，0），
∴圓心M的坐標為（-1，1）．
∴圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
又△COD為等腰直角三角形，C點坐標為（a，0），
∴直線CD的方程為x+y-a=0
∵⊙M與直線CD相切，∴圓心M到直線CD的距離d==，解得a=2或a=-2（舍）．（4分）
（2）由已知得，直線AB的方程為x-y+2=0，圓心N的坐標為（，）．
∴圓心N到直線AB的距離為=．
∵直線AB截⊙N所得的弦長為4，∴2²+（）²=．
解得a=2或a=-2（舍），
∴⊙N的標準方程為（x-）²+（y-）²=6．（8分）
（3）存在．
由（2）知，圓心N到直線AB的距離恒為，且AB⊥CD始終成立，
∴當且僅當圓N的半徑=2，即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為．
此時⊙N的標準方程為（x-2）²+（y-2）²=8．（12分）
點評：本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查存在性問題，解題時應充分運用圓的性質，選擇正確的方法．