Question

（12分）以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且．

   （I）求橢圓的離心率；   （II）求直線AB的斜率；   （Ⅲ）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在 的外接圓上，求的值．

Answer 1

（I）    （II）       （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ） 由//且，[來源:Z#xx#k.Com]

得，從而  [來源:學科網ZXXK]整理，得，故離心率

（Ⅱ）由（I）得，所以橢圓的方程可寫為[來源:學§科§網]

設直線AB的方程為，即[來源:Zxxk.Co由已知設，

則它們的坐標滿足方程組

消去y整理，得．

依題意，

而             ①

          ②

由題設知，點B為線段AE的中點，所以                 ③

聯立①③解得，

將代入②中，解得．

（Ⅲ）由（II）可知 

當時，得，由已知得．

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點 是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為．

直線的方程為，

于是點H（m，n）的坐標滿足方程組

  ，   由解得故

當時，同理可得