Question

如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,,四邊形和四邊形為矩形.
(1)證明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.

Answer 1

(1) 詳見解析 (2)

試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進而得到均為中點,得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相結合即可得到與垂直,進而證明線面垂直.
(2)要求二面角,此問可以以以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標系,利用空間向量的方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點,連接.利用(1)得到,在利用四邊形為菱形,對角線相互垂直,兩個垂直關系即可得到垂直于平面,進而得到,結合得到線面垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應邊長即可得到角的余弦值,進而得到二面角的余弦值.
(1)證明:四棱柱的所有棱長都相等
四邊形和四邊形均為菱形

分別為中點
四邊形和四邊形為矩形
且

又且底面
底面.

(2)法1::過作的垂線交于點,連接.不妨設四棱柱的邊長為.
底面且底面面
面
又面

四邊形為菱形

又且,面
面
又面

又且,面
面
為二面角的平面角,則
且四邊形為菱形
,,
則
再由的勾股定理可得,
則,所以二面角的余弦值為.
法2:因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形是菱形,因此,又面,從而兩兩垂直,如圖以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標系,不妨設,因為,所以,,于是各點的坐標為:,已知是平面的一個法向量,設是平面的一個法向量,則,,取,則,
所以,,故二面角的余弦值為.