Question

如圖，△ABC和△A₁AC是正三角形，平面A₁AC⊥底面ABC，A₁B₁⊥∥AB，A₁B₁=AB=2，
（I）求直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值大小；
（II）已知點D是A₁B₁的中點，在平面ABCD內擱一點E，使DE⊥平面AB₁C，求點E到AC和B的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形，有已知的面面垂直得到空間中從同一定點出發的三條兩兩垂直的直線進而建立空間直角坐標系，在利用空間向量知識求出線面角；
（2）由題意及圖形利用線面平行的性質進和在三角形中進而求解．

解答：解：∵平面A₁AC⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點O，
∴A₁O⊥底面ABC．
又A₁B₁=AB=2，△ABC和△A₁AC是正三角形，知∠ABC=∠A₁AC=60°，
∴AO=1，OA1=OB=

3

，BO⊥AC（2分）
故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，A1(0，

3

，0)，C（0，1，0），

AA1

=(0，1，

3

)．
由

AA1

=

BB1

，可得B1(

3

，1，

3

)．
∴

AB

1=(

3

，2，

3

)，

AC

=(0，2，0)
設平面AB₁C的法向量為

n

=(x，y，1)，則

n • AB1 = 3 x+2y+ 3 =0 n • AC =2y=0

，
解得

n

=(-1，0，1)
由cos＜

AA1

，

n

＞=

AA1 • n

| AA1 |•| n |

=

3

2 2

=

6

4

而AA₁與平面AB₁C所成角，即向量

AA1

與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，
所以直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為

6

4

；

（Ⅱ）連接A₁B，取AC中點O，連接A₁O、BO，
易得A₁O⊥AC，所以AC⊥平面A₁OB，AC⊥A₁B，又四邊形AA₁B₁B是正方形，所以AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC，∴A₁B⊥平面AB₁C，過D作DF∥A₁B，
很明顯DF交AB于E，此時點E到AC和B的距離分別是1、

3 3

2

．

點評：（1）此問重點考查了利用空間向量的知識求解線面角的三角函數值；
（2）此問重點考查了直線與平面平行求解點到線的距離，還考查了在三角形中求解兩點間的距離．