Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）當直線與平面所成的角為30°時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）作，余弦定理得，在同一平面內用“數據說話”，證用線面垂直的性質可證平面平面；

（2）以為原點建立空間直角坐標系，使用空間向量求二面角的平面角即可.

（1）過點作，垂足為，連結，.

在中，由，得，.

在中，由余弦定理得，

即，又，所以，即.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，為直線與底面所成角，則，所以.

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以，，

由于，所以.

設平面的法向量為，則，即，解得，

令得.

顯然平面的一個法向量為，

所以，

即平面與平面所成二面角的余弦值為.