Question

已知f（x）為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，x＞0時，f（x）=1-，
（1）求函數f（x）的解析式，
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）的單調性并用定義證明．

Answer 1

解：（1）設x＜0，則-x＞0，f（-x）=1+，又∵f（x）為奇函數，
∴f（x）=-f（x）=-1-
∴f（x）=
（2）f（x）在（0，+∞）為單調增函數．
證明：任取0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1--1+=-=
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）為單調增函數．
分析：（1）只需求x＜0時函數f（x）的解析式即可，利用奇函數的定義和已知x＞0時，f（x）的解析式即可求得分段函數f（x）在定義域上的解析式；
（2）利用函數單調性的定義，任取0＜x₁＜x₂，利用作差法，證明f（x₁）-f（x₂）＜0，即可證明函數f（x）在（0，+∞）的單調性
點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求函數解析式的方法，利用函數單調性的定義證明函數的單調性的方法，簡單復合函數單調性的判斷，代數變形和邏輯推理能力