Question

下列說法：①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，+a+4]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=2；②f（x）=

2009-x2

+

x2-2009

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈[0，+∞]時，f（x）=x（1+x），則當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中所有正確命題的序號是 ______．

Answer 1

①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，
則2a-1+a+4=0得a=-1，又∵f（-x）=f（x）可解得b=2；故①正確．
②將函數(shù)化簡得：f（x）=0，x∈R，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故②正確．
③設(shè)x＜0，由-x＞0，又∵當x∈[0，+∞]時，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x），
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；故③正確．
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
則，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．故④正確．
故答案為：①②③④