Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜），
（1）求MN的長；
（2）當a為何值時，MN的長最��；
（3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ， 依題意可得 MP∥NQ，且MP=NQ， 即MNQP是平行四邊形， ∴MN=PQ， 由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1， ∴AC=BF=， ，即， ∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ），， 所以，當a=時，MN=， 即M、N分別移動到AC、BF的中點時， MN的長最小，最小值為。
（Ⅲ）取MN的中點G，連結AG、BG， ∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點， ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角， 又AG=BG=， 所以，由余弦定理有 ， 故所求二面角。