Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：本題是數列中的一道綜合題，（1）的求解要利用恒等式a_n+1=2S_n+1構造出a_n=2S_n-1+1兩者作差得出a_n+1=3a_n，此處是的難點，數列的{b_n}的求解根據題意列出方程求d，即可，
（II）中數列求和是一個典型的錯位相減法求和技巧的運用．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）（2分）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴數列{a_n}是以1為首項，3為公比的等比數列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）（4分）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差數列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，
∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數列，設等差數列{b_n}的公差為d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ②（10分）
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ（12分）
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2×

3-3n

1-3

-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n•3n，
∴T_n=n•3ⁿ（14分）

點評：本題技巧性較強，是數列中的一道難度較高的題，對答題者基礎知識與基本技能要求較高，是用來提高學生數列素養的一道好題