Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率e=的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由；
（3）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，在△PF₁F₂中，|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓方程求出m值．
（3）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，聯(lián)立{y2=4xx24+y23=1得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（23，263）．再由韋達(dá)定理可知點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．
解答：解：（1）m=1時，拋物線C₁：y²=4x，焦點(diǎn)為F₂ （1，0）． 由于橢圓離心率，c=1，
故 a=2，b=，故所求的橢圓方程為  ．右準(zhǔn)線方程為：x=4．
（2）∵C₁：y²=4mx（m＞0）的右焦點(diǎn)F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，又，
∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長．
∴橢圓方程為．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，△PF₁F₂中的邊長是連續(xù)自然數(shù)，則在△PF₁F₂中，|PF₁|最長，|PF₂|最短，
令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1．
由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓，解得m=3．
故存在實(shí)數(shù)m=3 滿足條件．
（3）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
聯(lián)立得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設(shè)A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又，．

=
=．
∵k∈R，于是的值可能小于零，等于零，大于零．
即點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．
點(diǎn)評：本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查向量知識的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．