Question

（2013•惠州模擬）設數列{a_n}的前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）證明數列{a_n}為等比數列，并求出其通項；
（2）設f（n）=log

1

2

aⁿ，記b_n=a_n+1•f（n+1），求數列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得a_n+S_n=2對任意n∈N^*都成立，由此算出a₁=1且a_n=

1

2

a_n-1，可得數列{a_n}是以1為首項，公比q=

1

2

的等比數列．
（2）根據對數的運算法則結合（1）的結論，代入化簡得到b_n=n•（

1

2

）ⁿ，從而得到T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法并結合等比數列的前n項和公式，可得T_n=2-（n+2）

1

2n

．

解答：解：（1）∵（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，
∴a_n+S_n=2，
可得n=1時，a₁+S₁=2即2a₁=2解得a₁=1…（2分）
當n≥2時，a_n+S_n=2且a_n-1+S_n-1=2…（3分）
兩式相減得：a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即2a_n-a_n-1=0…（5分）
∴a_n=

1

2

a_n-1，可得數列{a_n}是以1為首項，公比q=

1

2

的等比數列．…（6分）
可得a_n=（

1

2

）^n-1…（7分）
（2）由（1）得f（n）=log

1

2

aⁿ=log

1

2

（

1

2

）^n-1=n-1，
則b_n=a_n+1•f（n+1）=n•（

1

2

）ⁿ，…（9分）
∴T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，----①
兩邊都乘以

1

2

得

1

2

T_n=1×

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，----②…（10分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹=（1-

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹…（11分）
即T_n=（2-2×

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ，化簡得T_n=2-（n+2）

1

2n

．…（14分）

點評：本題給出以數列的項為坐標的點在已知直線上，求數列的通項并依此求另一個數列的前n項和．著重考查了直線的方程、等比數列的定義與前n項和公式、利用錯位相減法求數列的前n項和等知識，屬于中檔題．