Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C₁。

（Ⅰ）寫出曲線C₁的方程；

（Ⅱ）證明曲線C與C₁關(guān)于點A（t/2,s/2）對稱；

（Ⅲ）如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明s=t₃/4-t且t≠0。

Answer 1

（Ⅰ）解：曲線C₁的方程為 y=(x-t)³-(x-t)+s。

（Ⅱ）證明：在曲線C上任取一點B₁(x₁,y₁)。設(shè)B₂(x₂,y₂)是B₁關(guān)于點A的對稱點，則有

x₁+x₂/2=t/2, y₁+t₂/2=s/2。 ∴x₁=t-x₂, y₁=s-y₂。

代入曲線C的方程，得x₂和y₂滿足方程： s-y₂=(t-x₂)³-(t-x₂)，

即 y₂=(x₂-t)³-(x₂-t)+s，可知點B₂(x₂,y₂)在曲線C₁上。

反過來，同樣可以證明，在曲線C₁上的點關(guān)于點A的對稱點在曲線C上。

因此，曲線C與C₁關(guān)于點A對稱。

（Ⅲ）證明：因為曲線C與C₁有且公有一個公共點，

所以，方程組 y=x₃-x, y=(x-t)³-(x-t)+s

有且公有一組解。 消去y，整理得

3tx₂-3t₂x+(t₃-t-s)=0， 這個關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個根。

所以t≠0并且其根的判別式 △=9t₄-12t(t₃-t-s)=0。

即 t≠0, t(t₃-4t-4s)=0。 ∴s=t₃/4-t 且 t≠0。