Question

已知3sinα＝sin(α＋2β)，求證：tan(α＋β)＝2tanβ．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：觀察條件等式和結論等式中的角，條件中含有β、2α＋β，結論中含有α＋β、α，若從條件入手，可采用角的變換，α＝(α＋β)－β，2α＋β＝(α＋β)＋β，展開后轉化成齊次整式，約分得出結論． 　　證明：∵3sinα＝3sin[(α＋β)－β] 　　＝3sin(α＋β)cosβ－3cos(α＋β)sinβ， 　　sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β] 　　＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ， 　　又3sinα＝sin(α＋2β)， 　　∴3sin(α＋β)cosβ－3cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β)cosβ＋cos(α＋β)sinβ． 　　∴2sin(α＋β)cosβ＝4cos(α＋β)sinβ． 　　∴tan(α＋β)＝2tanβ． 　　方法歸納：對條件恒等式的證明，若條件復雜，可從化簡條件入手得出結論；若結論復雜，可化簡結論；若條件和結論都較為復雜，可同時化簡它們，直到找到它們間的聯系． 　　深化升華：三角恒等式的證明實質就是由一種結構形式轉化為另一種結構形式．因此證明恒等式的基本思路是：證明等式時必須仔細觀察等式兩邊結構上的差異，然后分析這些差異和聯系，最后從解決差異入手，施行適當的變換，直至消除這些差異完成恒等式的證明．