Question

【題目】已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.

Answer 1

【答案】解（1）；（2）或.

【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結合性質 ，列出關于 、 的方程組，求出 、，即可得結果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，利用弦長公式可得 ，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數的性質可得結果.

（1）由是面積為的等邊三角形，得，

所以，，從而，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.

所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯立方程組消去，得，

所以有，，

則 ，

即，化簡得.

因為，所以有且.

原點到直線的距離為，的面積，

所以當最大時，的面積最大.

因為，而，

所以當時，取最大值為3，面積的最大值.

把代入，得，所以有，

即直線的方程為或.