Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer 1

分析：（1）可以先由平面ABCD⊥平面ABEF以及CB⊥AB證得CB⊥平面ABEF，?AF⊥CB．又因?yàn)锳B為圓O的直徑?AF⊥BF，就可證：AF⊥平面CBF；
（2）取DF的中點(diǎn)為N，利用MN

∥

.

AO?MNAO為平行四邊形?OM∥AN即可．既用線線平行來證線面平行．
（3）先把兩個(gè)錐體的體積套公式求出來，就可求出其體積之比．

解答：解：（1）證明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
得CB⊥平面ABEF，
而AF?平面ABEF，所以AF⊥CB（2分）
又因?yàn)锳B為圓O的直徑，
所以AF⊥BF，（3分）
又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分）
（2）證明：設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AN，MN
則MN

∥

.

1

2

CD，又AO

∥

.

1

2

CD
則MN

∥

.

AO，所以四邊形MNAO為平行四邊形，（6分）
所以O(shè)M∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
所以O(shè)M∥平面DAF．（8分）
（3）過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，
所以FG⊥平面ABCD，所以VF-ABCD=

1

3

SABCD•FG=

2

3

FG（9分）
因?yàn)镃B⊥平面ABEF，
所以VF-CBE=VC-BFE=

1

3

S△BFE•CB=

1

3

•

1

2

EF•FG•CB=

1

6

FG（11分）
所以V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)立體幾何知識(shí)的綜合考查，涉及到線面垂直，線面平行和棱錐體積公式．是道綜合性極強(qiáng)的好題．在證明線面平行時(shí)，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．