Question

設A，B，C是y=x²上的三點，其中B（1，1），且∠ABC=90°，過A，C分別作y=x²的切線，設兩切線交于點M．
（1）求M點的軌跡方程；
（2）求證：直線AM、AC、CM的斜率k_AM，k_AC，k_CM成等差數列．

Answer 1

分析：（1）先設A（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²），由AB⊥BC得K_AB•K_BC=-1，再利用坐標表示它，整理得x₁與x₂的關系，再聯立直線AM的方程和直線CM的方程，即得點M的軌跡方程；
（2）欲證明K_AM，K_AC，K_CM成等差數列，即證明K_AM，K_AC，K_CM成等差數列，利用K_AM=2x₁，K_CM=2x₂及K_AM+K_CM=2（x₁+x₂）即可證明得．

解答：解：（1）設A（x₁，x₁²），C（x₂，x₂²）
由AB⊥BC得K_AB•K_BC=-1
即

x12-1

x1-1

•

x22-1

x2-1

=-1
整理得：（x₁+1）（x₂+1）=-1，
x₁x₂+（x₁+x₂）+2=0（1）
又∵K_AM=2x₁，K_CM=2x₂
∴直線AM的方程為：y-x₁²=2x₁（x-x₁）（2）
直線CM的方程為：y-x₂²=2x₂（x-x₂）（3）
聯立（2），（3）解得M(

x1+x2

2

，x1x2)
設M（x，y），則

x= x1+x2 2 y=x1x2

即

x1+x2=2x x1x2=y

代入（1）得
點M的軌跡方程為：2x+y+2=0（7分）
（2）∵K_AM=2x₁，K_CM=2x₂
∴K_AM+K_CM=2（x₁+x₂）
又∵K_AC=

x12-x22

x1-x2

=x1+x2
∴K_AM+K_CM=2K_AC
即K_AM，K_AC，K_CM成等差數列．（15分）

點評：本小題主要考查軌跡方程、等差數列、分析法和綜合法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．