Question

已知函數f（x）=x²+ax+b²，分別在下列條件下求不等式f（x）＞0的解集為R的概率．
（1）a，b∈Z，且-2≤a≤4，-2≤b≤4；
（2）若a，b∈R，且0＜a≤2，0＜b≤2．

Answer 1

【答案】分析：（1）本小題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從兩個集合中各取一個數字，共有49種結果，滿足條件的事件是不等式f（x）＞0的解集為R，即a²＜4b²，列舉出所有的事件數，根據等可能事件的概率得到結果．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是在區間（0，2]上任取兩個數a和b，寫出事件對應的集合，做出面積，滿足條件的事件是求不等式f（x）＞0的解集為R，根據二次方程的判別式寫出a，b要滿足的條件，寫出對應的集合，做出面積，得到概率．
解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件是從兩個集合中各取一個數字，共有49種結果，
滿足條件的事件是求不等式f（x）＞0的解集為R，
即a²＜4b²，
當b=-2，2，3，4時，a有7種；
當b=-1，1時，a有5種；
當b=0時，a有1種；
共有39種結果，
∴所求的概率是
（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發生包含的事件是在區間[0，2]上任取兩個數a和b，
事件對應的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}
對應的面積是s_Ω=4
滿足條件的事件是關于x的不等式f（x）＞0的解集為R，
即a²-4b²≤0，
∴a≤2b，
事件對應的集合是A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a≤2b}
對應的圖形的面積是s_A=3
∴根據等可能事件的概率得到P=
故答案為：．
點評：本題考查等可能事件的概率，考查一元二次方程的解，考查列舉法的應用，是一個綜合題目，本題解題的關鍵是弄清楚一元二次方程解的情況．本題考查幾何概型，古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．