Question

已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C: y²=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.

(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？

(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？

Answer 1

(1) 弦MN的長不隨圓心k的運動而變化(2) 圓k必與準線相交

解析:

(1)設圓心k(x₀,y₀),且y₀²=2ax₀,

圓k的半徑R=|AK|=

∴|MN|=2=2a(定值)

∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化. 

(2)設M(0,y₁)、N(0,y₂)在圓k:(x－x₀)²+(y－y₀)²=x₀²+a²中，

令x=0，得y²－2y₀y+y₀²－a²=0，∴y₁y₂=y₀²－a²

∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.

∴|OM|+|ON|=|y₁|+|y₂|=2|OA|=2a. 

又|MN|=|y₁－y₂|=2a， ∴|y₁|+|y₂|=|y₁－y₂|

∴y₁y₂≤0，因此y₀²－a²≤0,即2ax₀－a²≤0  ∴0≤x₀≤.

圓心k到拋物線準線距離d=x₀+≤a,而圓k半徑R=≥a.

且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.