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已知函數f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數.
(1)試確定a,b的值;
(2)討論函數f(x)的單調區間.
分析:(1)因為x=1時函數取得極值得f(1)=-3-c求出b,然后令導函數f′(x)=0求出a即可;
(2)解出導函數為0時x的值,然后討論x的取值范圍時導函數的正負決定f(x)的單調區間.
解答:解:(1)∵f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值-3-c,
∴f(1)=-3-c,
∴b-c=-3-c,
∴b=-3,
∵f′(x)=4ax3lnx+ax4×
1
x
+4bx3=x3(4alnx+a+4b),
∵f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1處取得極值,
∴f'(1)=0,
∴a+4b=0,解得a=12,
故a=12,b=-3;
(2)由(1)知,f(x)=12x4lnx-3x4-c,
∴f'(x)=48x3lnx(x>0),
令f'(x)=0,解得x=1,
當0<x<1時,f'(x)<0,則f(x)在(0,1)上為減函數,
當x>1時,f'(x)>0,則f(x)在(1,+∞)上為增函數,
∴f(x)的單調遞減區間為(0,1),f(x)的單調遞增區間為(1,+∞).
點評:本題考查了利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,導數的正負對應著函數的增減,要注意極值點一定是導函數對應方程的根,但是導函數對應方程的根不一定是極值點.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
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