Question

已知函數f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，其中a，b，c為常數．
（1）試確定a，b的值；
（2）討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）因為x=1時函數取得極值得f（1）=-3-c求出b，然后令導函數f′（x）=0求出a即可；
（2）解出導函數為0時x的值，然后討論x的取值范圍時導函數的正負決定f（x）的單調區間．

解答：解：（1）∵f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值-3-c，
∴f（1）=-3-c，
∴b-c=-3-c，
∴b=-3，
∵f′（x）=4ax³lnx+ax4×

1

x

+4bx³=x³（4alnx+a+4b），
∵f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，
∴a+4b=0，解得a=12，
故a=12，b=-3；
（2）由（1）知，f（x）=12x⁴lnx-3x⁴-c，
∴f'（x）=48x³lnx（x＞0），
令f'（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，則f（x）在（0，1）上為減函數，
當x＞1時，f'（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）上為增函數，
∴f（x）的單調遞減區間為（0，1），f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，利用導數研究函數的單調性，導數的正負對應著函數的增減，要注意極值點一定是導函數對應方程的根，但是導函數對應方程的根不一定是極值點．屬于中檔題．