Question

設(shè)a＞0且a≠1函數(shù)f(x)＝，g(x)＝1＋．

(1)求f(x)和g(x)的定義域的公共部分D，并判定f(x)在D內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若[m，n]D，且f(x)在[m，n]上的值域恰為[g(n)，g(m)]，證明方程f(x)＝g(x)必有大于3的兩個(gè)相異實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由解出x＞3∴D＝{x|x＞3} 任取，∈D，使3＜＜，設(shè)μ(x)＝ 則μ()－μ()＝ ∵3＜＜，∴μ()－μ()＜0 當(dāng)0＜a＜1時(shí)， ∴f(x)在D上是單調(diào)遞減函數(shù)． 當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)是D上的單調(diào)遞增函數(shù)． (2)∵f(x)在[m，n]上的值域是[g(n)，g(m)] ∴g(n)＜g(m)，即＜ ∵m＜n，m－1＜n－1，∴0＜a＜1 從而知f(x)在[m，n]上單調(diào)遞減． ∴f(m)＝g(m)，f(n)＝g(n)，其中3＜m＜n即方程f(x)＝g(x)有大于3的兩個(gè)相異實(shí)根 ∴＝1＋有大于3的兩個(gè)相異實(shí)根． 整理知＝a(x－1)(0＜a＜1) 可推得＋(2a－1)x＋3(1－a)＝0有大于3的兩個(gè)相異實(shí)根(0＜a＜1) 必有 解出0＜a＜．