Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAB為等邊三角形，底面ABCD為正方形，O為AB中點，PO⊥AC．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）要證明平面PAB⊥平面ABCD，根據面面垂直的判定定理，關鍵是要在一個平面里找到一條直線與另外一個平面垂直，觀察發現△PAB底邊AB上的中線滿足要求，添加輔助線后，證明線面垂直即可得到結論．
（2）由（1）的結論，我們易得∠PCO即為所求，構造三角形，解三角形即可得到答案．
（3）由（1）的結論，過P向AC做垂線，垂足為E，則∠PEO即為二面角P-AC-B的平面角，解三角形PEO，即可求出二面角P-AC-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）解：∵△PAB為等邊三角形，O為AB中點，
∴PO⊥AB．
又PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
又PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：∵PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角．
設底面正方形邊長為2，
則PO=

3

，CO=

5

，
∴tanPCO=

PO

CO

=

15

5

．
∴直線PC與平面ABCD所成的角大小為arctan

15

5

．

（Ⅲ）解：過O做OE⊥AC，垂足為E，連接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO為二面角B-AC-P的平面角．
設底面正方形邊長為2，可求得OE=

2

2

．
又PO=

3

，
∴tanPEO=

PO

OE

=

6

．
∴二面角B-AC-P的大小為arctan

6

．

點評：（1）對于已知條件中出現了（或容易證明）有關的面面平行的問題，往往就要緊緊圍繞著面面平行的性質，從而得到線線（或線面）平行，從而將問題解決．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠PEO為二面角P-AC-B的平面角，通過解∠PEO所在的三角形求得∠PEO．其解題過程為：作∠PEO→證∠PEO是二面角的平面角→計算∠PEO，簡記為“作、證、算”．