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精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAB為等邊三角形,底面ABCD為正方形,O為AB中點,PO⊥AC.
(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求PC與平面ABCD所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角P-AC-B的大小.
分析:(1)要證明平面PAB⊥平面ABCD,根據面面垂直的判定定理,關鍵是要在一個平面里找到一條直線與另外一個平面垂直,觀察發現△PAB底邊AB上的中線滿足要求,添加輔助線后,證明線面垂直即可得到結論.
(2)由(1)的結論,我們易得∠PCO即為所求,構造三角形,解三角形即可得到答案.
(3)由(1)的結論,過P向AC做垂線,垂足為E,則∠PEO即為二面角P-AC-B的平面角,解三角形PEO,即可求出二面角P-AC-B的大小.
解答:精英家教網解:(Ⅰ)解:∵△PAB為等邊三角形,O為AB中點,
∴PO⊥AB.
又PO⊥AC,
∴PO⊥平面ABCD.
又PO?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解:∵PO⊥平面ABCD.
∴∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角.
設底面正方形邊長為2,
PO=
3
,CO=
5

tanPCO=
PO
CO
=
15
5

∴直線PC與平面ABCD所成的角大小為arctan
15
5


(Ⅲ)解:過O做OE⊥AC,垂足為E,連接PE.
∵PO⊥平面ABCD,
∴PE⊥AC.
∴∠PEO為二面角B-AC-P的平面角.
設底面正方形邊長為2,可求得OE=
2
2

PO=
3

tanPEO=
PO
OE
=
6

∴二面角B-AC-P的大小為arctan
6
點評:(1)對于已知條件中出現了(或容易證明)有關的面面平行的問題,往往就要緊緊圍繞著面面平行的性質,從而得到線線(或線面)平行,從而將問題解決.
(2)求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出∠PEO為二面角P-AC-B的平面角,通過解∠PEO所在的三角形求得∠PEO.其解題過程為:作∠PEO→證∠PEO是二面角的平面角→計算∠PEO,簡記為“作、證、算”.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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