Question

Rt△ABC中，AB為斜邊，•=9，S_△ABC=6，設P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊AB，BC，AC的距離分別為x，y，z，則x+y+z的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設三邊分別為a，b，c，利用正弦定理和余弦定理結合向量條件利用三角形面積公式即可求出三邊長．欲求x+y+z的取值范圍，利用坐標法，將三角形ABC放置在直角坐標系中，通過點到直線的距離將求x+y+z的范圍轉化為，然后結合線性規劃的思想方法求出范圍即可．
解答：解：△ABC為Rt△ABC，且∠C=90°，
設三角形三內角A、B、C對應的三邊分別為a，b，c，
∵
（1）÷（2），得 ，
令a=4k，b=3k（k＞0）
則 ∴三邊長分別為3，4，5．
以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，
則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為4x+3y-12=0．
設P點坐標為（m，n），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為x，y，z．
可知 ，
且，
故，
令d=m+2n，由線性規劃知識可知，如圖：
當直線分別經過點A、O時，x+y+z取得最大、最小值．
故0≤d≤8，故x+y+z的取值范圍是 ．
故答案為：[]．
點評：本題主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量數量積的運算、簡單線性規劃思想方法的應用，綜合性強，難度大，易出錯．