Question

 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓C兩個焦點的距離之和為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l：y＝kx－2與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直線l的方程．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解:　(1)由已知2a＝6，e＝＝，

解得a＝3，c＝，所以b²＝a²－c²＝3，

所以橢圓C的方程為＋＝1.…………………3分

(2)由得，(1＋3k²)xkx＋3＝0，

因為直線l與橢圓C有兩個不同的交點，

所以Δ＝144k (1＋3k²)>0，解得k²>.

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的中點為E，

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝k·－4＝－，

所以AB的中點坐標為E，

因為|PA|＝|PB|，所以PE⊥AB，k_PE·k_AB＝－1，

所以·k＝－1，

解得k＝1或k＝－1，經檢驗，符合題意．

所以直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.…………………………………9分