【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，且橢圓的一個頂點與拋物線
的焦點重合，離心率為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點
且斜率存在的直線
交橢圓于
兩點，線段
的垂直平分線交軸于
點，證明：
為定值.
【答案】（1）
（2）詳見解析
【解析】
(1)先由題意設橢圓的方程，再結合條件列出方程，從而可求出橢圓的方程；
(2)先設直線的方程，由直線與橢圓方程聯立，結合韋達定理表示出
，以及
，化簡之后作商,即可證明結論.
解法一：
（1）設橢圓
的標準方程為
，
由拋物線
的焦點為
，得
，①
又
，②
由①②及
，解得
，
所以橢圓的標準化為.
（2）依題意設直線
的方程為
，
設點
，
，
當
時，聯立方程
得
，
，
所以
，
，
的中點坐標為
，
的垂直平分線為
，
令
，得
，
，
又
，
所以
，
當
時，點
與原點重合，則
，
，所以；
綜上所述，
為定值
.
解法二：
（1）同解法一.
（2）依題意，當直線的斜率不為0時，設直線的方程為
，
設點，，
聯立方程
得
，
所以
，
，
，
，
，
所以的中點坐標為
，
的垂直平分線為
，
令，得
，所以
，
所以；
當直線的斜率為0時，點與原點重合，則，，
所以；
綜上所述，為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產了一種新產品，在推廣期邀請了100位客戶試用該產品，每人一臺.試用一個月之后進行回訪，由客戶先對產品性能作出“滿意”或“不滿意”的評價，再讓客戶決定是否購買該試用產品（不購買則可以免費退貨，購買則僅需付成本價）.經統計，決定退貨的客戶人數是總人數的一半，“對性能滿意”的客戶比“對性能不滿意”的客戶多10人，“對性能不滿意”的客戶中恰有
選擇了退貨.
（1）請完成下面的
列聯表，并判斷是否有
的把握認為“客戶購買產品與對產品性能滿意之間有關”.
對性能滿意 | 對性能不滿意 | 合計 | |
購買產品 | |||
不購買產品 | |||
合計 |
（2）企業為了改進產品性能，現從“對性能不滿意”的客戶中按是否購買產品進行分層抽樣，隨機抽取6位客戶進行座談.座談后安排了抽獎環節，共有6張獎券，其中一張印有900元字樣，兩張印有600元字樣，三張印有300元字樣，抽到獎券可獲得相應獎金.6位客戶每人隨機抽取一張獎券（不放回），設6位客戶中購買產品的客戶人均所得獎金為
元，求的分布列和數學期望.
附：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某市高中某學科競賽中，某一個區4000名考生的參賽成績統計如圖所示.
（1）求這4000名考生的競賽平均成績
(同一組中數據用該組區間中點作代表)；
（2）由直方圖可認為考生競賽z成績服正態分布
，其中
，
分別取考生的平均成績和考生成績的方差
，那么該區4000名考生成績超過84.41分(含84.81分)的人數估計有多少人？
附：①
，
；②
，則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查某地區70歲以上老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣的方法從該地區調查了100位70歲以上老人，結果如下：
男 | 女 | |
需要 | 18 | 5 |
不需要 | 32 | 45 |
（1）估計該地區70歲以上老人中，男、女需要志愿者提供幫助的比例各是多少？
（2）能否有
的把握認為該地區70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關；
（3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區70歲以上老人中，需要志愿者提供幫助的老人的比例？說明理由.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.
（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；
（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
第一種生產方式 | 第二種生產方式 | |||||||||||||||||||
8 | 6 | 5 | 5 | 6 | 8 | 9 | ||||||||||||||
9 | 7 | 6 | 2 | 7 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 8 | ||||||
9 | 8 | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 8 | 1 | 4 | 4 | 5 | ||||||
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | 0 | ||||||||||||||
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：
超過m | 不超過m | 總計 | |
第一種生產方式 | |||
第二種生產方式 | |||
總計 |
（3）根據（2）中的列表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在極坐標系
中，
，
，
，
，
，弧
，
所在圓的圓心分別是
，
，曲線
是弧，曲線
是線段
，曲線
是線段
，曲線
是弧.
（1）分別寫出，，，的極坐標方程；
（2）曲線
由，，，構成，若點
，（
），在上，則當
時，求點
的極坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新冠狀病毒嚴重威脅著人們的身體健康，我國某醫療機構為了調查新冠狀病毒對我國公民的感染程度，選了某小區的
位居民調查結果統計如下：
感染 | 不感染 | 合計 | |
年齡不大于 |
| ||
年齡大于 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為感染新冠狀病與不同年齡有關？
（3）已知在被調查的年齡大于
歲的感染者中有
名女性，其中
位是女教師，現從這名女性中隨機抽取
人，求至多有
位教師的概率．
附：
，
.
|
|
|
|
|
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|
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，直線
，
是
圖象的任意兩條對稱軸，且
的最小值為
．
（1）求
的表達式；
（2）將函數的圖象向右平移
個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐
標不變，得到函數
的圖象，若關于
的方程
，在區間
上有且只有一個實數解，求實數
的取值范圍．
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