Question

三次函數f(x)=x³+bx²+cx+d的圖像大致如圖所示，圖中的實數t滿足≤t＜1．

(1)試求c、d的值(或用t表示)．

(2)試用t表示f(x)在區間[1，2]上的最值；

(3)若不等式t²-mt＞f(x)在x∈[1，2]時恒成立，求實數m的取值范圍．

第21題圖

Answer 1

答案：(1)f′(x)=3x²+2bx+c．

第21題圖

由圖知，t與3t是函數f(x)的極值點．∴t與3t是方程3x²+2bx+c=0的兩根．

于是，t+3t=b=-6t；t·3t=c=9t²；

f(0)=0d=0．

(2)f(x)=x³-6tx²+9t²x.

∵≤t≤1[1，2][t，3t]．

∴f(x)在[1，2]上遞減．

于是，f(x)_max=f(1)=1-6t+9t²；f(x)_min=f(2)=8-24t+36t²．

(3)“t²-mt＞f(x)在x∈[1，2]時恒成立”等價于t-mt＞f(x)max=1-6t+9t²．

∵t＞0，∴m＜6-(8t+)．

令φ(t)=6-(8t+)(≤t≤1)．

則φ(t₁)-φ(t₂)=[6-(8t₁+)]-[6-(8t₂+)]=(t₁-t₂)(-8)

設≤t₁＜t₂≤1，則t₁-t₂＜0，-8＜0．

∴φ(t₁)＞φ(t₂)φ(t)在[，1]上遞減．

從而φ(t)_min=φ()=6．

故m＜.