Question

已知函數f(x)=2cos2x-cos(2x+

π

2

)
（Ⅰ）求f(

π

8

)的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后求f(

π

8

)的值；
（Ⅱ）直接利用正弦函數的周期的求法，以及三角函數的單調性直接求函數f（x）的單調遞減區間．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因為f(x)=2cos2x-cos(2x+

π

2

)=2cos²x+sin2x…（2分）
=1+cos2x+sin2x…（4分）
=

2

sin(2x+

π

4

)+1…（6分）
所以f(

π

8

)=

2

sin(

π

4

+

π

4

)+1=

2

+1…（7分）
（Ⅱ）因為f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1
所以T=

2π

2

=π…（9分）
又y=sinx的單調遞減區間為(2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

)，（k∈Z）…（10分）
所以令2kπ+

π

2

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

…（11分）
解得kπ+

π

8

＜x＜kπ+

5π

8

…（12分）
所以函數f（x）的單調減區間為(kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

)，（k∈Z）…（13分）

點評：本題考查兩角和的正弦函數與二倍角公式的應用，三角函數的周期的求法，單調區間的求法，考查計算能力．