Question

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、的中點.

(1)求二面角的余弦值;

(2)求點到平面的距離.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）本題中取中點，將會出現許多垂直，這正是我們解題時需要的結果，由于，則，由于平面平面，則平面，是正三角形，則，有了這些垂直后，就可以建立空間直角坐標系（以為原點，分別為軸），寫出相應點的坐標，計算所需向量的坐標，設分別是二面角的兩個面的法向量，則二面角的余弦值，就等于（或者其相反數，這要通過圖形觀察確定）；（2）設平面的法向量是，則點以平面的距離為．

試題解析：⑴取中點,連結､.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.  

如圖所示建立空間直角坐標系,則,,,

∴.

∴．

設為平面的一個法向量，

則，

取，則，∴，

又為平面的一個法向量，

，即二面角的余弦值為．

(2)由⑴得,又為平面的一個法向量,,

∴點到平面的距離.

考點：（1）二面角；（2）點到平面的距離．