Question

已知一個四位數其各個位置上的數字是互不相等的非負整數，且各個數字之和為12，則這樣的四位數的個數是（　　）

A、108

B、128

C、152

D、174

Answer 1

分析：本題是一個分類計數問題，當數字中不含有0時，把12分成4個不同的數之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6，排列出結果，當數字含有0時，可以是0，1，2，9；0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件，得到結果．

解答：解：由題意知本題是一個分類計數問題，
當數字中不含有0時，
把12分成4個不同的數之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6
4個個位數和是12，也就是說，平均值是3
∴可能是3-1，3-2，3+1，3+2這一種情況，就是1，2，4，5
而如果出現3的話，剩下三個數和為9，那么可能是1、2、3、6
由1，2，4，5，組成的四位數，可能有A₄⁴=24種，
同樣由1、2、3、6組成四位數，也有24種，
∴不含有0的數字有24+24=48種結果，
當數字含有0時，可以是0，1，2，9
0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件，
而每一種可以組成數字3×3×2=18
∴共有48+18×7=174
故選D．

點評：本題考查計數原理，對于比較復雜的問題，一般是既有分類又有分步，本題解題的關鍵是先分成含有0和不含有0兩種情況．