Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，點M、N分別為側棱PD、PC的中點
（1）求證：CD∥平面AMN；
（2）求證：AM⊥平面PCD．

Answer 1

分析：根據線面平行的判定定理，只需證明平面內一條直線與CD平行可證（1）；
利用CD與AD垂直，可證CD垂直平面PAD，這樣平面PCD內可證有兩條直線PD與CD于AM垂直，然后線線垂直⇒線面垂直即可．

解答：證明：（1）∵M、N分別為側棱PD、PC的中點，
∴CD∥MN，
∵MN?平面AMN，CD?平面AMN
∴CD∥平面AMN．
（2）∵PA=AD，M為PD的中點，
∴AM⊥PD
∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA
又∵底面是正方形，∴CD⊥AD，∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD
∴AM⊥CD，又∵CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD．

點評：本題考查線面平行與垂直的判定，證明線面平行一般有：線線平行⇒線面平行；面面平行⇒線面平行，兩種思路；
證明線面垂直一般有：線線垂直⇒線面垂直；面面垂直⇒線面垂直；

線線平行 線面垂直

⇒線面垂直；
另可用向量法證明．