Question

已知函數f（x）=ln（x²-2x-a）的定義域為A，函數g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

的值域為B，若A∩B≠∅，則實數a的取值集合為

{a|a＜8}

．

Answer 1

分析：先利用判別式法求出函數g（x）的值域B，根據A∩B≠∅，則x²-2x-a＞0在區間[2，4]上有解即a＜x²-2x在[2，4]上存在實數解，最后根據存在性問題進行求解即可．

解答：解：令g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

=y則（3-y）x²+2x+3-y=0
當y=3時，x=0成立，
當y≠3時，△=4-4（3-y）²≥0，解得2≤y≤4且y≠3
綜上可知函數g(x)=

3x2+2x+3

x2+1

的值域B=[2，4]
x²-2x-a＞0的解集為函數f（x）=ln（x²-2x-a）的定義域
∵A∩B≠∅，
∴x²-2x-a＞0在區間[2，4]上有解即a＜x²-2x在[2，4]上存在實數解
即a＜（x²-2x）_max=8
∴實數a的取值集合為{a|a＜8}
故答案為：{a|a＜8}

點評：本題主要考查了利用判別式法求函數的值域，以及集合關系中的參數取值問題，同時考查了等價轉化的思想，屬于中檔題．