Question

2．設命題p：實數x滿足：x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足x=（$\frac{1}{2}$）^m-1，其中m∈（1，2）．
（1）若a=$\frac{1}{4}$，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=$\frac{1}{4}$代入求出p為真時，x的范圍，由指數函數的圖象和性質，求出q為真時，x的范圍，再由p∧q為真，求出兩個范圍的交集，可得實數x的取值范圍；
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，即p是q的必要不充分條件，即$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）解x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0得：a＜x＜3a，
當 m∈（1，2）時，x=（$\frac{1}{2}$）^m-1∈（$\frac{1}{2}$，1）…（2分）
故a=$\frac{1}{4}$時，$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{3}{4}$，
∵p∧q為真為真，
∴p真且q真…（3分）
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}＜x＜1\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$…（5分）
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，
即p是q的必要不充分條件；…（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次不等式的解法，指數函數的圖象和性質，難度中檔．