Question

一個等差數列{a_n}中,3a₈=5a₁₃,a₁＞0,若S_n為{a_n}的前n項和,則S₁,S₂,…,S_n,…中有沒有最大值?請說明理由.

Answer 1

解法一：設{a_n}的首項為a₁,公差為d,則有3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴d=-a₁.

∴S_n=na₁+d=-a₁n²+a₁n=-a₁(n-20)²+a₁.

    故n=20時,S_n最大,即前20項之和最大.

    解法二：設{a_n}的首項為a₁,公差為d,則3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴2a₁+39d=0.

    設

    解得≤n≤,

∴n=20,即前20項之和最大.

    解法三：設{a_n}的首項為a₁,公差為d,則3(a₁+7d)=5(a₁+12d),

∴2a₁+39d=0.

∴a₁+a₄₀=0,a₂₀+a₂₁=0.

    又∵a₁＞0,

∴a₂₀＞0,a₂₁＜0.

∴S₁,S₂,…,S_n,…中,S₂₀最大.