Question

【題目】設(shè)且恒成立．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）證明： 存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題處理，分 和兩種情況判斷即可；（2）由（1）得，故問題可轉(zhuǎn)化為有零點(diǎn)的問題，并進(jìn)一步得到存在唯一的極大值點(diǎn)。然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證得。

試題解析：

（1）解：由條件知恒成立，

∵，

∴恒成立，

令，則恒成立，

∴，

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

又，

∴當(dāng)時(shí)， ,與矛盾，不合題意。

②當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴ 當(dāng)時(shí)， 有極小值，也為最小值，且最小值為。

又恒成立，

∴ ，

令

則，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，

所以由解得，

綜上．

（2）由條件得，

令，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

又，

∴ ，

由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性知，方程在有唯一根，設(shè)為且，

從而有兩個(gè)零點(diǎn)和0，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

從而存在唯一的極大值點(diǎn)，

由得，

∴

，等號不成立，所以，

又在單調(diào)遞增，

所以，

綜上可得成立．