Question

（2007•煙臺三模）在正三棱錐A-BCD中，E、F分別為棱AB、CD的中點，設EF與AC所成角為α，EF與BD所成角為β，則α+β等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：取AD的中點G，連結EG、FG，取BD的中點H，連結AH、CH．由線面垂直的判定與性質，證出BD⊥AC．由三角形中位線定理，得到∠EGF就是異面直線AC、BD所成的角，即∠EGF=

π

2

．且∠EFG和∠FEG分別等于EF與ACBD所成角，由此在Rt△EFG中算出∠EFG+∠FEG=

π

2

，即得得α+β的值．

解答：解：取AD的中點G，連結EG、FG，取BD的中點H，連結AH、CH
∵AD是等腰△ABD與等腰△BCD公共的底面，H為BD中點
∴AH⊥BD且CH⊥BD
∵AH、CH是平面ACH內的相交直線
∴BD⊥平面ACH，可得BD⊥AC
∵EG是△ABD的中位線，
∴EG∥BD，同理可得FG∥AC
因此，得到∠EGF就是異面直線AC、BD所成的角，即∠EGF=

π

2

∵EF與AC所成角為α=∠EFG，EF與BD所成角為β=∠FEG
∴Rt△EFG中，∠EFG+∠FEG=

π

2

，可得α+β=

π

2

故選：D

點評：本題在三棱錐中求異面直線所成的角，著重考查了正棱錐的性質、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．